Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + 7 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 q$ .

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + 7 (q) - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 1$ plus $8$

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + (- 1 + 8) q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} - 1 q + 8 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 q + 1}{(4 q^{2} - 1 q) + 8 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 q + 1}{q (4 q - 1) + 2 (4 q - 1)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 q - 1$ .

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 q$ .

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 (q) - 2}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + (- 1 + 6) q - 2}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} - 1 q + 6 q - 2}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{(3 q^{2} - 1 q) + 6 q - 2}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{q (3 q - 1) + 2 (3 q - 1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 q - 1$ .

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 q - 1}{3 q - 1}$ .

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{3 q - 1}{3 q - 1} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 q - 1}{4 q - 1}$ .

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{3 q - 1}{3 q - 1} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{4 q - 1}{4 q - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)}$ par $\frac{3 q - 1}{3 q - 1}$ .

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{4 q - 1}{4 q - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$ par $\frac{4 q - 1}{4 q - 1}$ .

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)$ .

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)$ .

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(5 q + 1) (3 q - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 q (3 q - 1) + 1 (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 q (3 q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 q (3 q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 \cdot 3 q \cdot q + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $q$ .

$\frac{5 \cdot 3 (q \cdot q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$\frac{5 \cdot 3 q^{2} + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 q^{2} + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $3 q$ par $1$ .

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 3 q + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 3 q - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 5 q$ et $3 q$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- (2 q) - 1 \cdot 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- 2 q - 1 \cdot 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- 2 q - 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.6

Développez $(- 2 q - 3) (4 q - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q - 1) - 3 (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 q \cdot q - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.2.1

Déplacez $q$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 (q \cdot q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 q^{2} - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 12 q - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 12 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.7.2

Soustrayez $12 q$ de $2 q$ .

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} - 10 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.8

Soustrayez $8 q^{2}$ de $15 q^{2}$ .

$\frac{7 q^{2} - 2 q - 1 - 10 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.9

Soustrayez $10 q$ de $- 2 q$ .

$\frac{7 q^{2} - 12 q - 1 + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{7 q^{2} - 12 q + 2}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$